Cálculo I — Revisão em 10 Blocos

Mapa de decisão

Qual ferramenta procurar?

Ementa: limites, derivadas, integrais e aplicações matemáticas/computacionais em análise de dados e modelagem quantitativa.

Apareceu 0/0 em um limite
Simplifique, fatore ou racionalize antes de pensar em L’Hospital.

Pedem taxa instantânea/tangente
Use derivada.

Pedem máximo ou mínimo
Modele a função, encontre pontos críticos e classifique.

Pedem área/acumulação
Use integral definida.

Integral contém função e sua derivada
Teste substituição; produto típico pode sugerir partes.

Teste-se no caderno

Três níveis de revisão

Sem pontuação automática: revele apenas o nível que pretende fazer e resolva fora da tela.

Nível 1 — Ferramentas

Calcule \(\lim_{x\to2}(3x^2-1)\).
Derive \(x^4-3x+2\).
Derive \(e^{x^2}\).
Calcule \(\int(3x^2+2)dx\).
Calcule \(\int_0^2x\,dx\).

Nível 2 — Problemas

Determine a reta tangente a \(f(x)=x^2\) em \(x=2\).
Encontre os extremos de \(f(x)=x^3-3x\).
Calcule \(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\).
Calcule \(\int 2x(x^2+1)^3dx\).
Calcule \(\int xe^x dx\).

Nível 3 — Integrado

Uma receita é \(R(q)=100q-q^2\). Determine a quantidade que maximiza a receita.
Para \(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\), analise limite e continuidade em \(x=2\).
Esboce o comportamento de \(x^3-3x^2\) usando derivadas.
Calcule a área entre \(y=x\) e o eixo x em \([0,3]\).
Escolha e execute o método adequado para \(\int x\cos x\,dx\).

#	Função / regra	Derivada	Uso
Fundamentais
01.	Constante	\(\frac{d}{dx}(c)=0\)	Essencial
02.	Potência	\(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)	Essencial
05.	Exponencial natural	\(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)	Essencial
06.	Exponencial base a	\(\frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a\)	Frequente
07.	Log natural	\(\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac1x\)	Essencial
08.	Log base a	\(\frac{d}{dx}(\log_a x)=\frac{1}{x\ln a}\)	Frequente
Regras
03.	Constante × função	\(\frac{d}{dx}[c f(x)]=c f\'(x)\)	Essencial
04.	Soma/diferença	\(\frac{d}{dx}[u\pm v]=u\'\pm v\'\)	Essencial
19.	Produto	\((uv)\'=u\'v+uv\'\)	Essencial
20.	Quociente	\(\left(\frac uv\right)\'=\frac{u\'v-uv\'}{v^2}\)	Essencial
21.	Regra da cadeia	\([f(g(x))]\'=f\'(g(x))g\'(x)\)	Essencial
Trigonométricas
09.	Seno	\(\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)	Essencial
10.	Cosseno	\(\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\)	Essencial
11.	Tangente	\(\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x\)	Essencial
12.	Cotangente	\(\frac{d}{dx}(\cot x)=-\csc^2x\)	Frequente
13.	Secante	\(\frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x\)	Frequente
14.	Cossecante	\(\frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x\cot x\)	Frequente
Inversas
15.	Arco-seno	\(\frac{d}{dx}(\arcsin x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\)	Frequente
16.	Arco-cosseno	\(\frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\)	Frequente
17.	Arco-tangente	\(\frac{d}{dx}(\arctan x)=\frac1{1+x^2}\)	Frequente
18.	Arco-cotangente	\(\frac{d}{dx}(\operatorname{arccot}x)=-\frac1{1+x^2}\)	Referência
Compostas
22.	Potência composta	\(\frac{d}{dx}[u^n]=nu^{n-1}u\'\)	Essencial
23.	Exponencial composta	\(\frac{d}{dx}(e^u)=e^u u\'\)	Essencial
24.	Log composta	\(\frac{d}{dx}(\ln\|u\|)=\frac{u\'}u\)	Essencial
25.	Seno composto	\(\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos(u)u\'\)	Essencial
26.	Cosseno composto	\(\frac{d}{dx}(\cos u)=-\sin(u)u\'\)	Essencial
27.	Tangente composta	\(\frac{d}{dx}(\tan u)=\sec^2(u)u\'\)	Frequente
Avançadas
28.	Derivação implícita	\(F(x,y)=0\Rightarrow F_x+F_y\,y\'=0\)	Frequente
29.	Inversa	\((f^{-1})\'(x)=\frac1{f\'(f^{-1}(x))}\)	Referência
30.	Potência geral	\(\frac{d}{dx}[u(x)^{v(x)}]=u^v\left(v\'\ln u+v\frac{u\'}u\right)\)	Referência

#	Tipo / reconhecimento	Fórmula	Uso
Fundamentais
01.	Potência	\(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne-1\)	Essencial
02.	Logarítmica	\(\int\frac1x\,dx=\ln\|x\|+C\)	Essencial
03.	Exponencial natural	\(\int e^x\,dx=e^x+C\)	Essencial
04.	Exponencial base a	\(\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\)	Frequente
Trigonométricas
05.	Seno	\(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\)	Essencial
06.	Cosseno	\(\int\cos x\,dx=\sin x+C\)	Essencial
07.	Secante ao quadrado	\(\int\sec^2x\,dx=\tan x+C\)	Frequente
08.	Cossecante ao quadrado	\(\int\csc^2x\,dx=-\cot x+C\)	Frequente
09.	Secante × tangente	\(\int\sec x\tan x\,dx=\sec x+C\)	Frequente
10.	Cossecante × cotangente	\(\int\csc x\cot x\,dx=-\csc x+C\)	Frequente
Inversas
11.	Forma da arco-tangente	\(\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C\)	Frequente
12.	Forma do arco-seno	\(\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C\)	Frequente
Técnicas
13.	Integração por partes	\(\int u\,dv=uv-\int v\,du\)	Essencial

#	Tipo / reconhecimento	Fórmula	Uso
Pitagóricas
01.	Identidade fundamental	\(\sin^2x+\cos^2x=1\)	Essencial
02.	Tangente e secante	\(1+\tan^2x=\sec^2x\)	Essencial
03.	Cotangente e cossecante	\(1+\cot^2x=\csc^2x\)	Frequente
Quociente
04.	Tangente	\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)	Essencial
05.	Cotangente	\(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)	Frequente
Soma e diferença
06.	Seno da soma/diferença	\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)	Frequente
07.	Cosseno da soma/diferença	\(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)	Frequente
Ângulo duplo
08.	Seno do ângulo duplo	\(\sin(2x)=2\sin x\cos x\)	Essencial
09.	Cosseno do ângulo duplo	\(\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1\)	Essencial
Redução de potência
10.	Quadrados de seno e cosseno	\(\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2},\quad\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}\)	Essencial

#	Tipo / reconhecimento	Fórmula	Uso
Trigonométricas
01.	Potências de seno	\(I_n=\int\sin^n x\,dx=-\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\)	Frequente
02.	Potências de cosseno	\(J_n=\int\cos^n x\,dx=\frac{\cos^{n-1}x\sin x}{n}+\frac{n-1}{n}J_{n-2}\)	Frequente
Exponenciais
03.	Potência × exponencial	\(\int x^n e^{ax}dx=\frac{x^ne^{ax}}a-\frac na\int x^{n-1}e^{ax}dx\)	Referência
Logarítmicas
04.	Potência × logaritmo	\(\int x^n\ln x\,dx=\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+C\)	Referência

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Tabela fundamental de Cálculo I

Derivadas — índice 01–30

Integrais — índice 01–13

Identidades trigonométricas — índice 01–10

Fórmulas de recorrência / redução — índice 01–04